最近在做一个编辑正弦曲线的工具,里面可以通过鼠标取3个点拟合确定周期的正弦曲线。

我们知道正弦波的函数通常用一个公式来表示

其中周期$T = 2\pi/\omega$,那么对于一个确定周期的正弦波,$\omega$是确定的,有$A$、$\phi$和$h$三个未知量,需要三个点来确定。那么怎么通过这三个点来确定这个正弦函数呢?

一个正弦波一个周期的图形可以看成一个圆柱面与一个平面交线(椭圆)沿平行圆柱方向的展开图。至于为什么呢,以后再说。

空间椭圆方程可以表示为圆柱面和平面的联立方程

我们把二维的点放到三维上去,就是把展开的圆柱面重新卷起来。设我们取得三个点是$P_1(x_1, y_1)$,$P_2(x_2, y_2)$和$P_3(x_3, y_3)$。卷起来的圆柱底面周长为$T$,那么半径就为$r = T/2\pi$。取$P(x, y)$,反映到弧长上就是$x$,对应的角度是$\alpha = 2\pi x/T$,对应$x$$y$方向上的分量就是

转换过来对应三维的点就是$P’_1$,$P’_2$和$P’_3$,